Fundamental Ideas of Algebraic Thinking!

PENDAHULUAN

Kebolehan dalam menyelesaikan suatu masalah Matematik bergantung kepada tahap pemikiran seseorang pelajar. Dalam proses penyelesaian berasaskan masalah dalam Matematik, pelajar harus mampu berfikir untuk memahami masalah Matematik, merancang penyelesaian, menyelesaikan dan mengaitkan masalah yang sedang dihadapi dengan pengalaman dan pengetahuan yang telah dan sedang dilalui. Penyelesaian berasaskan masalah berupaya menunjukkan perhubungan antara fakta, konsep atau teorem dalam Matematik; algoritma dan masalah dalam kehidupan seharian. Oleh yang demikian, kemahiran menyelesaikan masalah dalam Matematik memang penting dan harus dipupuk terutama di kalangan pelajar bermula di peringkat sekolah rendah lagi.

Pemikiran adalah satu proses mental bagi memperoleh pengetahuan dan  pemahaman dengan tujuan menyelesaikan masalah.  Ia melibatkan penerimaan dan pemahaman rangsangan dalaman dan luaran, pembentukan konsep, pentafsiran, dan penghasilan gerak balas yang sesuai.  Menurut V.R. Ruggiero, 1984, pemikiran ialah satu proses mental yang digunakan untuk membentuk serta menyelesaikan masalah dan kemudiannya membuat keputusan demi memenuhi keinginan mendapatkan jawapan.

Peringkat awal pemikiran matematik adalah penting, kerana ini akan mempengaruhi persepsi dan sikap kanak-kanak terhadap pembelajaran matematik sepanjang hayat mereka ( Renga & Dalla 1992). Ilmu awal dalam bidang matematik juga memainkan peranan dalam bagaimana seseorang membina dan memperolehi ilmu matematik pada masa hadapan. Ginsburg (1977) dalam kajiannya telah mencadangkan bahawa pemikiran informal tentang matematik telah wujud dalam kanak-kanak sejak sangat awal lagi.

ALGEBRAIC THINKING

Matlamat untuk memperkenalkan Algebra kepada semua telah menjadi fokus utama kepada golongan pelajar sekolah di Amerika Syarikat.  Ia didorong kepada kehendak untuk melahirkan rakyat yang celik secara kuantitatif dan juga sebagai penghubung kepada matematik yang lebih ke hadapan dan membuka peluang dalam pelbagai bidang yang lain.  Mengikut kajian pada tahun 2006, hanya 22% pelajar Gred 8 di California menguasai  kursus yang setara dengan Algebra atau yang lebih tinggi (Kriegler & Lee, 2007).  Implikasinya jelas bahawa sekolah di peringkat rendah dan menengah harus fokus kepada mempersiapkan murid dalam menghadapi pembelajaran Matematik yang lebih mencabar di peringkat menengah atas dan institusi yang lebih tinggi termasuk Algebra (Chambers, 1994; Silver, 1997).

Oleh itu, “algebraic thinking” telah menjadi frasa utama dalam pengajaran dan pembelajaran Matematik yang mampu mempersiapkan murid dengan kemahiran berikir secara kritikal dan kejayaan dalam menguasai algebra.

 KOMPONEN UTAMA ALGEBRAIC THINKING

            Algebraic thinking terbahagi kepada dua komponen utama; pembangunan alat pemikiran Matematik dan juga kajian kepada idea asas algebraic.  Alat pemikiran Matematik adalah berkait dengan perlakuan minda yang analitikal.  Ia disusun kepada tiga topik: kemahiran penyelesaian masalah, kemahiran perwakilan dan kemahiran penaakulan kuantitatif.  Idea asas algebraic pula mewakili domain di mana alat pemikiran Matematik berkembang.  Ia diterokai  melalui tiga lensa, algebra sebagai generalisasi arithmetik, algebra sebagai bahasa serta algebra sebagai alat untuk fungsi dan permodelan Matematik.  Rajah 1 menyimpulkan komponen-komponen tersebut yang dipetik daripada 2006 California Mathematics Content Standards (California Board of Education, 2006). 

Components of Algebraic Thinking (with illustrative citations from the 2006 Mathematics Framework for California Public Schools, Kindergarten Through Grade Twelve)

Mathematical Thinking Tools Problem solving skills • Using problem solving strategies • Exploring multiple approaches/multiple solutions Representation skills • Displaying relationships visually, symbolically,   numerically, verbally • Translating among different representations • Interpreting information within representations Quantitative reasoning skills • Analyzing problems to extract and quantify essential    features • Inductive and deductive reasoning

Fundamental Algebraic Ideas Algebra as generalized arithmetic • Conceptually based computational strategies • Ratio and proportion • Estimation Algebra as the language of mathematics • Meaning of variables and variable expressions • Meaning of solutions • Understanding and using properties of the number    system • Reading, writing, manipulating numbers and symbols    using algebraic conventions • Using equivalent symbolic representations to    manipulate formulas, expressions, equations,    inequalities Algebra as a tool for functions and mathematical modeling • Seeking, expressing, generalizing patterns and rules    in real-world contexts • Representing mathematical ideas using equations,    tables, graphs, or words • Working with input/output patterns • Developing coordinate graphing skills

Rajah 1

CONTOH ALGEBRAIC THINKING

Contoh masalah dan penyelesaian di bawah ini menunjukkan beberapa komponen dalam algebraic thinking.  Ia membawa kepada pemikiran umum tentang arithmetik.  Murid menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan pelbagai penyelesaian dan strategi, mengaplikasikan idea dengan pelbagai cara dan menggunakan penjelasan untuk menunjukkan bukti tentang penaakulan analitik.  Masalah ini dilihat tidak sukar bagi murid yang mempunyai kemahiran algebra yang baik dan dapat diselesaikan dengan mudah  menggunakan  kemahiran algebraic thinking.

Contoh: -

Liming Elementary school had funds to buy 12 basketballs that cost 24 Yuan each.  Before buying the basketballs, the school spent 144 Yuan of the funds for some soccer balls. How many basketballs can the school buy with the remaining funds?

Arithmetic solutions:

•          Solution 1: Begin by computing the original funding and subtract the money spent on

      soccer balls:

      (24 × 12 – 144) ÷ 24 = 144 ÷ 24 = 6 basketballs

•          Solution 2: Begin by computing the number of basketballs that can no longer be bought:

      12 – (144 ÷ 24) = 6 basketballs.

Algebraic solutions:

•          Solution 3: Assume that the school can still buy x basketballs:

                  (24 × 12 – 144) = 24x.

                  Therefore, x = 6 basketballs.

•          Solution 4: Assume that the school can still buy x basketballs:

                  24 × 12 = 24x + 144.

                  Therefore, x = 6 basketballs.

•          Solution 5: Assume that the school can still buy x basketballs.

                  12 = (144 ÷ 24) + x.

                  Therefore, x = 6 basketballs.

KESIMPULAN

Pada masa kini telah banyak program yang menyokong usaha pembangunan algebraic thinking di sekolah-sekolah.  Adalah penting untuk mengintergrasi Algebraic Thinking dalam kurikulum Matematik di peringkat rendah lagi supaya murid dapat berfikir secara Matematik (algebraic thinking).  Guru memainkan peranan yang sangat penting dalam usaha membantu murid menjana kemahiran algebraic thinking.   Dalam menghasilkan  murid yang berkemahiran algebraic thinking, guru seharusnya terlebih dahulu bersedia!